拓扑学Ⅱ｜笔记整理（1）——拓扑基本概念及性质，连续

发布时间：2024-04-22 14:43:06

大家好！

这一系列笔记是在寒假拓扑学笔记的基础上进行补充的一系列笔记，follow的书是北大尤承业编写的《基础拓扑学讲义》。要说的一点是，国内的拓扑学教材和国外的差距非常大，也就是说，之前在寒假整理的内容，几乎没有覆盖到我们上课的内容。所以如果读者发现这一部分笔记的内容和原follow书的内容差别不大的话，大可不必质疑和奇怪，因为拓扑学本身难度很大（事实上，个人认为比实变难度大），而本身的学科体系也基本上成熟了，所以很难说再对原书的基本性质的证明提出更多全新而有意义的思想，只能在前人的基础上加上一点自己的理解作为点缀罢了。

因为目前还不太清楚这门课的习题安排是什么样的（比如作业，助教都只打了一个“阅”，可能确实是太难改了吧……），所以暂时还无法保证提供足够多的习题和例子，当然了，我也不能说这份笔记是“言简意赅”的，因为原书已经省略了足够多的证明细节了……（大雾）。

同时，这一部分的笔记赶的也很匆忙（毕竟我们还有三周就期中考试了……）。所以如果出现错误，也希望大家能够指出并谅解，谢谢大家啦~

废话不说了，我们开始我们的正题。本节内容覆盖原书内容为P12-22

拓扑空间
几个基本概念
连续

拓扑的定义之前寒假的笔记已经涉及过了，但是因为寒假的内容过于零碎（这也是Munkres书的一大缺点），所以我们不再省略它们，而是原样的再列在这里。

Definition 1:
设 $X$ 是一个非空集合，定义 $2^X$ 是 $X$ 的幂集，即它所有的子集构成的集合族。定义 $2^X$ 的子集为 $X$ 的子集族。

我相信你没有忘记族(collection)的概念是什么。

Definition 2:
设 $X$ 非空，如果 $X$ 的一个子集族 $\ au$ 满足
(1) $X,\\emptyset$ 包含在 $\ au$ 中。
(2) $\ au$ 中任意多成员的并在 $\ au$ 中。
(3) $\ au$ 中有限多成员的交在 $\ au$ 中。
则称这个子集族为 $X$ 的一个拓扑。 $X$ 和 $\ au$ 一起称为一个拓扑空间，记为 $(X,\ au)$ ，并且定义子集族中的成员为这个拓扑空间的开集。

一般来说，第三个条件我们验证两个开集的交还是开集就可以了。

有两个最基本的拓扑就是离散拓扑和平凡拓扑。前者就是 $2^X$ ，后者是 $\\{X,\\emptyset\\}$ 。

下面是几个有用的例子。

Example 1:
设 $X$ 为无穷集， $\ au_f=\\{A^c \\mid A 为X的有限子集\\}\\cup \\{\\emptyset\\}$ ，则 $\ au_f$ 是一个拓扑，定义为 $X$ 上的余有限拓扑。
设 $X$ 为不可数集， $\ au_c=\\{A^c \\mid A为X的可数集\\}\\cup \\{\\emptyset\\}$ ，这是余可数拓扑。
定义 $\ au_e=\\{U \\mid U为若干开区间的并集\\}$ ，“若干”可以是无穷，有限或者零。这称为 $\\mathbb{R}$ 上的欧式拓扑。记为 $E^1=(\\mathbb{R},\ au_e)$ 。

这三个拓扑在之后我们举反例的时候会用到。当然了，这三个拓扑也说明了，一个集合可以定义不同的拓扑，所以很多时候我们需要指明相关内容，以防产生歧义。

下面要说的是度量拓扑的定义。

Definition 3:
定义 $X$ 上的度量 $d$ 为一个映射 $d: X \ imes X \ o \\mathbb{R}$ ，满足
(1) $d(x,x)=0,\\forall x \\in X,d(x,y)>0,x \ e y$
(2) $d(x,y)=d(y,x)$
(3) $d(x,z) \\le d(x,y)+d(y,z)$
若在 $X$ 上定义了一个度量，那么称它为度量空间，记为 $(X,d)$

比如说，n维欧式空间中， $d((x_1,\\cdots,x_n),(y_1,\\cdots,y_n))=\\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$ 。

为了定义度量拓扑，我们再给出一些补充的定义。

Definition 4:
$B(x_0,\\epsilon)=\\{x \\in X \\mid d(x_0,x) < \\epsilon\\}$ ，定义为 $x_0$ 为心， $\\epsilon$ 为半径的球形邻域。

这就是我们早就熟知的开球。

Lemma 1:
$(X,d)$ 的任意两个球形邻域的交集是若干球形邻域的闭集。

简单说明一下。设 $U=B(x_1,\\epsilon_1) \\cap B(x_2,\\epsilon_2)$ 。那么要证明“若干”，其实最常用的办法就是，对于这个区域内的任何一个点，都可以找到一个开球覆盖这个点，那么这样的话，把那些开球并起来就可以得到原来的那个区域了。

所以我们任取这个集合中的点 $x \\in U$ ，那么 $\\epsilon_i-d(x,x_i)>0,i=1,2$ （因为 $\\epsilon_i$ 就是圆的半径，而 $d(x,x_i)$ 就是点与圆心的距离，因为点在圆内，所以不等式成立）。这样的话，只要取 $\\epsilon_x$ 为两个距离的最小值，就构造出这样的一个开球 $B(x,\\epsilon_x)$ 了。另外，不难验证， $U=\\bigcup_{x \\in U}B(x,\\epsilon_x)$ ，所以结论自然成立。

所以我们这里自然定义度量拓扑为 $U$ 中若干个球形邻域的闭集。能够这么定义的原因是，它满足拓扑公理的第1，2条，而第三条根据第一二条和上面的引理，设每一个开集都是若干个球形邻域的并集，就很容易证明出来。这里略去证明细节。

首先就是闭集的概念。

Definition 5:
开集的补集是闭集。
Proposition 1:
拓扑空间的闭集满足:
(1) $X,\\emptyset$ 为闭集。
(2)闭集的任意交和有限并为闭集。

这些都很基本，因此不再证明。

下面定义一下拓扑意义下的邻域，内点和内部。

Definition 6:
设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的子集， $x \\in A$ 。若存在开集 $U$ 使得 $x \\in U \\subset A$ ，则称 $x$ 为 $A$ 的一个内点。 $A$ 为 $x$ 的一个邻域。定义它所有内点的集合为 $A$ 的内部。记为 $A^\\circ$ 。

要注意的是，拓扑空间中的开集，闭集，邻域等概念比实分析中的要更加一般化。因此如果直接套用实分析中所学的相关定义往往会出现麻烦。

下面这一套性质的证明使用了大量的集合论中的证明思想。为了强调，我们拆分开来说。

Proposition 2-1:
$A \\subset B \\Rightarrow A^\\circ \\subset B^\\circ$

如果 $x$ 是 $A$ 的内点，那么就存在一个开集 $U$ 使得 $x \\in U \\subset A$ 。那么自然就有 $x \\in U \\subset B$ 。注意到的是我们的子集是相对全集 $X$ 说的，所以它们的开集是“通用的”，所以我们可以推出 $x \\in B^\\circ$ ，就证明了结论。

很多时候，拓扑会有不同，而更多时候为了防止歧义，我们会之前人为规定好相关拓扑。这个“人为规定”将在之后体现出来。

Proposition 2-2:
$A^\\circ$ 为包含在 $A$ 中所有开集的并集，因此是包含在 $A$ 中的最大开集。

如果我们考虑包含在 $A$ 中的所有开集构成的族 $\\{U_\\alpha\\},\\alpha \\in I$ ，那么，对于任意的 $x \\in \\bigcup_{\\alpha \\in I}U_\\alpha$ ，都会存在某一个 $\\beta$ 使得 $x \\in U_\\beta$ ，而根据定义， $U_\\beta \\subset A$ ，所以 $x \\in A^\\circ$ （因为确实找到了一个开集满足所有内点的定义）。这就说明了一个方向 $\\bigcup_{\\alpha \\in I}U_\\alpha \\subset A^\\circ$ 。反过来，如果 $x \\in A^\\circ$ ，那么根据内点定义，存在一个开集 $U$ 使得 $x \\in U \\subset A$ ，那么就有反方向的式子成立。就证明了结论 $\\bigcup_{\\alpha \\in I}U_\\alpha=A^\\circ$ 。

Proposition 2-3:
$A ^\\circ=A \\Leftrightarrow A~ is~ open~ set$

从左边推到右边是很容易的。从右边推左边的时候，只需要注意到， “ $A^\\circ$ 是包含在 $A$ 的最大开集”就可以得到结论。

Proposition 2-4:
$(A \\cap B)^\\circ=A^\\circ \\cap B^\\circ$

首先注意到一个事实 $A \\cap B \\subset A$ ，那么 $(A \\cap B)^\\circ \\subset A^\\circ$ 。那么自然也可以得到 $(A \\cap B)^\\circ \\subset B^\\circ$ 。结合一下就有 $(A \\cap B)^\\circ \\subset A^\\circ \\cap B^\\circ$ 。反过来，再注意到一个事实 $(A \\cap B)\\supset A^\\circ \\cap B^\\circ$ （如果一个点又是 $A$ 又是 $B$ 的内点，那么它一定是 $A,B$ 内的元素，这很显然）。所以 $(A \\cap B)^\\circ \\supset (A^\\circ \\cap B^\\circ)^\\circ$ 。但是要注意到的是，内部都是开集，所以交依然是开集。所以右边就是 $A^\\circ \\cap B^\\circ$ 。这就自然说明了结论成立。

Proposition 2-5:
$(A \\cup B)^\\circ \\supset A^\\circ \\cup B^\\circ$

首先要注意到 $A ^\\circ \\cup B^\\circ$ 是一个开集。接着要注意到的是 $A ^\\circ \\cup B^\\circ \\subset A \\cup B$ 。这样的话，要注意到， $(A \\cup B)^\\circ$ 是含于 $A \\cup B$ 内的最大的开集。所以自然有 $(A \\cup B)^\\circ \\supset A^\\circ \\cup B^\\circ$ 成立（因为我们研究的集合 $A ^\\circ \\cup B^\\circ$ 可能不是最大的）

这五个基本性质至关重要。请大家务必有很深的印象。

下面是聚点和闭包的定义。

Definition 7:
设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的子集， $x \\in X$ ，若 $x$ 每个邻域都含有 $A \\backslash \\{x\\}$ 中的点，则称 $x$ 为 $A$ 的聚点。定义它所有聚点的集合为 $A$ 的导集，记为 $A'$ 。并记 $\\bar A=A \\cup A'$ 为 $A$ 的闭包。

一个很显然的推论是

Proposition 3:
$x \\in \\bar A \\Leftrightarrow$ $x$ 的任一邻域与 $A$ 都有交点。

事实上，考虑 $x \\in A,A'$ 的两种情况即可。这个性质我们会经常用到。

那么，闭包和内部的关系是什么呢？

Proposition 4:
若 $A,B$ 互为余集，则 $\\bar A$ 与 $B^\\circ$ 互为余集。

我们证明一下这个结论。我们的想法是考虑 $\\bar A ^c$ ，那么如果 $x \\in \\bar A^c$ ，那么说明什么？注意到， $x \\in \\bar A$ 说明它的任意一个邻域与 $A$ 交集非空。那么反过来就是，存在一个邻域与 $A$ 交集非空。那么，不难想象，这个邻域一定是包含在 $A^c$ 内的。那么这样的话，注意到 $A^c=B$ ，并且我们找到了一个集合中的点，找到了符合条件的邻域，根据内点的定义即可得到 $x \\in B^\\circ$ 。这就说明了 $\\bar A^c \\subset B^\\circ$ 。

那么反过来呢？事实上，注意到上面的条件都是等价条件，就可以得到我们的结论。

直观上理解就是说，如果两个集合互补，那么把其中一个集合的边界全部加上，另一个集合的边界全部去掉，得到的两个新的集合仍然互补。

下面五个性质是与闭集相关的，但是证明方法与开集相似，所以我们只列举部分，剩下的部分留作思考。

Proposition 4:
(1) $A \\subset B \\Rightarrow \\bar A \\subset \\bar B$
(2) $\\bar A$ 为所有的包含 $A$ 的闭集的交集，所以是包含 $A$ 的最小的闭集。
(3) $\\bar A=A \\Leftrightarrow A$ 是闭集
(4) $\\overline{A \\cup B}=\\bar A \\cup \\bar B$
(5) $\\overline{A \\cap B}\\subset \\bar A \\cap \\bar B$

比方说第一个，如果 $x \\in \\bar A$ ，那么 $x$ 的所有邻域都与 $A$ 交集非空，那么自然它也与 $B$ 交集非空，注意这里拓扑都是相同的，邻域互通，所以可以推出 $x \\in \\bar B$ 。

还有第四个，利用 $A \\subset A \\cup B,(A \\cup B) \\subset \\bar A \\cup \\bar B$ 即可。

下面要说的是子空间的概念，从这个概念开始，拓扑的概念定义开始出现相对性，我们接着往下看。

Definition 8:
设 $A$ 是 $X$ 的一个非空子集，并规定 $A$ 的子集族 $\ au_A=\\{U \\cap A \\mid U \\in \ au\\}$ ，那么 $\ au_A$ 为 $A$ 上一个拓扑，定义为子空间拓扑，并且定义 $(A,\ au_A)$ 为 $(X,\ au)$ 的子空间。

一个有趣的现象是，如果我们的子集是迭代的，也就是说还存在 $B \\subset A \\subset X$ ，那么无论是将 $B$ 上的子空间拓扑定义为 $X$ 的子空间，还是定义为 $A$ 上的子空间，都没有差异。也就是说 $(\ au_A)_B=\ au_B$ ，证明我们略去，但是结论是很重要和基本的。

接下来的两个命题是与子空间拓扑相关的。

Proposition 5:
$C \\subset A \\subset X$ ，则 $C$ 是 $A$ 的闭集等价于 $C$ 是 $A$ 与 $X$ 的一个闭集之交集。

我们要说明的是，从这里开始，已经默认给子集加了子空间拓扑了（不然，哪来“ $A$ 的拓扑”这样的说辞）。

如果 $C$ 是 $A$ 的闭集，那么 $A \\backslash C$ 就是 $A$ 的开集，那么存在 $X$ 的开集 $U$ ，使得 $A \\backslash C=U \\cap A$ （这是子空间拓扑的定义）。这样的话，有 $C=U^c \\cap A$ ，那么 $U^c$ 自然就是我们找的闭集。

那么反过来呢？注意到上面的推论都是等价的即可。

Proposition 6:
$B \\subset A \\subset X$ ，那么
(1)若 $B$ 为 $X$ 的开(闭)集，那么 $B$ 为 $A$ 的开(闭)集。
(2)若 $A$ 为 $X$ 的开(闭)集， $B$ 为 $A$ 的开(闭)集，那么 $B$ 也是 $X$ 的开(闭)集。

对于第一个结论，只要注意到 $B=B \\cap A$ 即可。对于第二个结论，如果 $B$ 是 $A$ 的开集，那么存在开集 $U$ ，使得 $B=U \\cap A$ ，那么，因为 $A,U$ 都是开集，那么 $B$ 为 $X$ 的开集，即证明了结论。

另外，所有的“开”改成“闭”结论依然是成立的。

连续和同胚的定义在拓扑学中也是比较抽象的概念。

Definition 9:
$f:X \ o Y$ 为一个映射， $x \\in X$ ，若对于 $Y$ 中 $f(x)$ 的任一邻域 $V$ ， $f^{-1}(V)$ 也为 $x$ 的邻域，则 $f$ 在 $x$ 处连续。

事实上，邻域可以改为“开邻域”（想想为什么），而这句话还可以改写为

对包含 $f(x)$ 的每一个开集 $V$ ，必存在包含 $x$ 的开集 $U$ ，使得 $f(U) \\subset V$ 。

说明这两句话的等价性，只需要说明两个方向。下面只说其中一个。如果 $f(U) \\subset V$ ，那么可以推出 $U \\subset f^{-1}(V)$ 。那么如果 $f(x) \\in V$ ， $x \\in U$ ，那么 $x \\in U \\subset f^{-1}(V)$ ，也就是说，找到了一个开集 $U$ 和一个点 $x$ 满足条件 $x \\in U \\subset f^{-1}(V)$ 。是不是有点眼熟呢？这就是邻域的定义。也就是说， $f^{-1}(V)$ 确实是 $x$ 的邻域。

至于另一个方向，理解为“开邻域”后再推就可以了，很简单的。

连续的定义往往比较难理解，一个原因是“邻域”究竟是什么，不同的课本给了不同的定义。所以我们要强调的是，在这里，邻域不一定是开集，只有“开邻域”才是开集。这一方面与之前我们所学的欧式空间有本质的差异。所以很多时候，如果要使用“邻域”的概念，往往要走它最原始的定义，就是上面证明中体现的那样。

一个连续与映射限制相关联的性质如下。

Proposition 7:
设 $f: X \ o Y$ 是一个映射， $A \\subset X$ ， $x \\in A$ ，令 $f_A=f|_A:A \ o Y$ 为 $f$ 在 $A$ 上的限制。则
(1)若 $f$ 在 $x$ 处连续，则 $f_A$ 也在 $x$ 处连续。
(2)若 $A$ 是 $x$ 的邻域，则当 $f_A$ 在 $x$ 处连续时， $f$ 在 $x$ 处也连续。

（我觉得你知道什么叫“限制”，如果不知道，看《拓扑学》笔记的第一节）

对于第一个结论，根据 $f$ 连续，设 $V$ 是 $f_A(x)=f(x)$ 的邻域，那么 $f^{-1}(V)$ 自然是 $x$ 在 $X$ 中的邻域，那么存在开集 $U$ 使得 $x \\in U \\subset f^{-1}(V)$ 。另一方面，注意到 $f_A^{-1}(V)=A \\cap f^{-1}(V) \\supset A \\cap U$ ，那么这样的话，注意到 $x \\in A \\cap U$ ， $A \\cap U$ 是开集，所以 $f_A^{-1}(V)$ 就是 $x$ 的邻域，就证明了结论。

对于第二个结论，设 $V$ 是 $f(x)$ 的邻域，那么根据 $f_A$ 连续的定义，存在 $A$ 中的开集 $U_A$ ，使得 $x \\in U_A \\subset A \\cap f^{-1}(V)$ 。

现在如何推广到之前那个大的空间中？别忘了，什么叫“ $A$ 中的开集”？意思就是在上面定义了一个子空间拓扑。所以，我们可以设 $U_A=U \\cap A$ ， $U$ 是 $X$ 内的开集。

为了构造一个新的在大空间 $X$ 中的开集，我们还需要对 $A$ 做文章。所以构造 $U \\cap A^ \\circ$ （这是因为根据 $A$ 是 $X$ 的邻域推出 $x \\in A ^\\circ$ ），它也是开集，并且有 $x \\in U \\cap A ^\\circ \\subset U_A \\subset A \\cap f^{-1}(V) \\subset f^{-1}(V)$ ，这就证明了原来的结论。

这一系列的定理描述了连续性的成立情况，它其实是一个“局部的”性质，所以如果对于一个映射 $f:X \ o Y$ 而言，对于任意的点 $x \\in X$ 都连续，那么称它是一个连续映射。而连续映射有一个非常重要的性质。

Proposition 8:
设 $f: X \ o Y$ ，那么下面条件互相等价。
(1) $f$ 为连续映射。
(2) $Y$ 的任一开集在 $f$ 下的原像为 $X$ 的开集。
(3) $Y$ 的任一闭集在 $f$ 的原像是 $X$ 的闭集。

为了证明等价性，我们需要说明三步。

$(1) \\Rightarrow (2)$ ：根据 $f$ 连续，就可以得到，对于任意的 $Y$ 的开集 $V$ ，令 $U=f^{-1}(V)$ ，那么下面就要证 $U$ 为开集。

要证明集合是开集，就需要证明其中的每一个点都是集合的内点。注意到，对于任意的 $x \\in U$ ， $f(x) \\in V$ ，也就是说 $V$ 是 $f(x)$ 的邻域，那么结合 $f$ 的连续性，就可以知道 $U$ 也对应是邻域。那么 $x$ 就是内点。这样就证明了结论。

$(2) \\Rightarrow (3)$ ：只需要注意到一件事是 $f^{-1}(F)=(f^{-1}(F^c))^c$ 。所以如果设 $F$ 是 $Y$ 的闭集，那么 $f^{-1}(F^c)$ 根据(2)就可以推出来是开集，自然就可以说明 $f^{-1}(F)$ 是闭集了。

$(3) \\Rightarrow (1)$ ：考虑 $V$ 是 $f(x)$ 的邻域，且 $U=f^{-1}(V)$ ，现在要说明 $U$ 是邻域，就要说明其中的任意一个点 $x$ ，存在一个开集，使得这个开集含这个点，这个开集本身又在 $U$ 内。那么如何寻找这个开集呢？

我相信你没有忘记我们之前构造开集的一个思路就是考虑内部。所以我们考虑 $f^{-1}(V ^\\circ)$ ，是个不错的主意，但是它真的是开集吗？别忘了，我们有闭集的原像是闭集的条件。所以我们考虑取补，就是考虑等式 $f^{-1}(V^\\circ)=(f^{-1}((V^\\circ)^c))^c$ 。已经提醒的差不多了，不写了可以吗？

这一节笔记简单说了一些连续和基本的开集闭集的定义，要注意的是，拓扑学中的这些概念是更加一般的，因此很多方面的定义也和直觉有很大的差距。同时，因为拓扑学本身的抽象性和复杂性，所以必要的基础是需要的，这也是为什么我反复思考，最终还是决定把拓扑学的内容再写在笔记上的原因。

感谢大家一直以来的支持，为点赞收藏感谢赞赏的看客比心~~

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