拓扑空间

发布时间：2024-03-04 13:12:13

本文将用尽量少的篇幅讲清楚拓扑空间及其相关的一些概念。

拓扑空间是一种数学结构，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

实际上，拓扑空间就是集合上面赋予的一种数学结构，有了这个结构就可以使得集合具有更多可以研究的性质，下文将介绍这个结构是什么。

在介绍拓扑这个概念之前先简单提一下拓扑学的概念：

拓扑学(topology)，是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。

拓扑英文名是Topology，直译是"地质学"，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。拓扑学是由几何学与集合论里发展出来的学科，研究空间、维度与变换等概念。这些词汇的来源可追溯至哥特佛莱德·莱布尼茨，他在17世纪提出"位置的几何学"(geometria situs)和"位相分析"(analysis situs)的说法。欧拉的柯尼斯堡七桥问题与欧拉示性数被认为是该领域最初的定理。

拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。

拓扑学里面最基本的概念就是下面将定义的拓扑：

因为拓扑就是定义在一个集合上的结构，所以先有一个集合，才可以谈一个拓扑。

比如有一个集合 $X$ ，它的全部子集的集合叫做 $X$ 的幂集，记作 $2^X$ 。

现在定义这个集合 $X$ 的拓扑 $\ au$ 就是这个幂集 $2^X$ 的一个子集，并且满足下面三个性质：

$X$ 和 $\\emptyset$ 都属于集合 $\ au$ .
$\ au$ 中有限个集合的交集属于 $\ au$ .
$\ au$ 中任意多个集合的的并集属于 $\ au$ .

我们就把满足这些性质的集合 $\ au$ 中的元素叫做开集，而这个集合 $\ au$ 就叫做 $X$ 的拓扑。

实际上拓扑的定义就是把 $\\mathbb{R}^n$ 中的开集的概念推广得到的，所以才把这些元素叫做开集，但是要明白，一般所说的开集就是拓扑这个定义的一种特殊情况而已。

所以不难知道为什么定义中要求有限交和任意并，因为这就是 $\\mathbb{R}^n$ 中开集所满足的性质，显然无限个开集的交是可以构成闭集的。

之前没有定义拓扑的时候，一个集合上是不能讨论它的开集是什么的，但是定义了拓扑的集合就可以知道它的哪些子集是开集。因此，为了说明定义了拓扑的集合比一般的集合更高级，我们就把定义了拓扑的集合 $X$ 叫做拓扑空间，记作 $(X,\ au)$ ，一般情况下就还是简记为 $X$ 。

并且，一个集合的拓扑不一定只有一个，只要是满足定义的集合都可以叫做拓扑。

下面介绍一些特殊拓扑：

离散拓扑：一个非空集合 $X$ 离散拓扑就是它的全部子集构成的集合，可以验证，这样定义的拓扑显然满足上面的那三条定义。

凝聚拓扑：一个非空集合 $X$ 的凝聚拓扑就是它本身和空集构成的集合，即 $\\{X,\\emptyset\\}$ ，这个集合显然满足上面拓扑的定义。

通常拓扑：设 $X=\\mathbb{R}^n$ ，集合 $X$ 的通常拓扑就定义为{空集或能够表示为开球之并的子集}，其中开球的定义就是 $B(x_0,r)=\\{ x\\in\\mathbb{R}^n|d(x_0,x)<r\\}$ , $d(x_0,x)$ 为点 $x_0$ 和点 $x$ 之间的距离。